S1 =1 cm (kezdeti méret)
S2 =S1 + 1/3 S1 =4/3 cm
S3 =S2 + 1/3 S2 =7/3 cm
S4 =S3 + 1/3 S3 =10/3 cm
...
Itt megfigyelhetünk egy mintát. A héj méretét az egyes szakaszokban az előző szakasz méretének 1/3 -as hozzáadásával kapjuk meg.
Általánosságban a héj mérete az n. Szakaszban kifejezhető:
SN =S1 + (1/3) S1 + (1/3)^2S1 + ... + (1/3)^(N-1) S1
A rákfészek héjainak számának meghatározásához (a kezdeti héj kivételével) meg kell találnunk az N értékét, amelyre az SN ≥ 10 cm.
10 cm ≤ sn
10 cm ≤ S1 + (1/3) S1 + (1/3)^2S1 + ... + (1/3)^(n-1) S1
10 cm ≤ s1 [1 + (1/3) + (1/3)^2 + ... + (1/3)^(n-1)]
A zárójelben belüli kifejezést egy geometriai sorozat összegeként felismerhetjük, az első kifejezéssel és a közös arány 1/3. A geometriai sorozat összegét a következők adják:
Összeg =a1 / (1 - r), ahol az A1 az első kifejezés, és R a közös arány.
Csatlakozás a1 =1 és r =1/3, kapjuk:
Összeg =1/(1 - 1/3) =3/2
Ezért,
10 cm ≤ S1 [3/2]
S1 ≥ (10 cm) * (2/3)
S1 ≥ 6,67 cm
Ez azt sugallja, hogy a rák eldobja a héját, amikor megközelítőleg 6,67 cm méretű.
A héjak számának meghatározásához meg kell találnunk az N értékét, hogy az SN ≥ 6,67 cm.
6,67 cm ≤ S1 + (1/3) S1 + (1/3)^2S1 + ... + (1/3)^(N-1) S1
6,67 cm ≤ s1 [1 + (1/3) + (1/3)^2 + ... + (1/3)^(n-1)]
Mivel a geometriai sorozat összege 3/2, a következők:
6,67 cm ≤ s1 * (3/2)
S1 ≥ (6,67 cm) * (2/3)
S1 ≥ 4,45 cm
Ez azt jelenti, hogy a rák lecsökkenti a héját, ha méretének meghaladja a 4,45 cm -t.
Most meg kell határoznunk, hogy a rákon áteső szakaszok vagy oltások száma meghaladja a méretét, mielőtt a mérete meghaladja a 4,45 cm -t.
Az S1 =1 cm -től kezdve a következő szakaszokat a következőképpen számolhatjuk:
S2 =1 cm + (1/3) cm =4/3 cm
S3 =4/3 cm + (1/3) * 4/3 cm =7/3 cm
S4 =7/3 cm + (1/3) * 7/3 cm =10/3 cm
Láthatjuk, hogy az S4 nagyobb, mint 4,45 cm. Ezért a rák a harmadik szakaszból (S3) a negyedik szakaszba (S4) való áttérés során eldobja a héját.
Tehát a ráknak 3 héját (a kezdeti héj kivételével) leszerel, amíg a mérete meghaladja a 10 cm -t.